不等式：1. Holder不等式
两个向量$\mathbf{a}$，${b}$，它们的点积为$<\mathbf{a}, \mathbf{b}>$。
根据 Holder 不等式，我们有：
$$
|<\mathbf{a}, \mathbf{b}>| = |\sum^N_{i=0} a_i b_i| \leq \sum^N_{i=0} |a_i b_i| \leq ||\mathbf{a}||_p ||\mathbf{b}||_q = (\sum^N_{i=0} |a_i|^p)^{1/p} (\sum^N_{i=0} |b_i|^q)^{1/q}
$$
其中第二个不等式成立的条件是：$p$和$q$之间是共轭的，也就是需要满足$(p, q > 1)\wedge(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1)$。
接下来分析两个不等式的等式成立条件：
第一个等式成立的条件是：
$$
sign(a_i b_i) = sign(a_j b_j), \forall i,j
$$
第二个等式成立的条件是：
$$
|a_i|^p = C |b_i|^q, \forall i, C \geq 0
$$
退化为柯西不等式
当$p=q=2$时，Holder 不等于退化为柯西不等式：
$$
|<\mathbf{a}, \mathbf{b}>| \leq ||\mathbf{a}||_2 ||\mathbf{b}||_2
$$
等式成立的条件为：
$$
sign(a_i b_i) = sign(a_j b_j), \forall i,j \\ |a_i|^2 = C |b_i|^2, \forall i
$$
